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俄罗斯数学家佩雷尔曼在讲解如何证明“庞加莱猜想”
数学发展到今天，既枝叶繁茂又根深蒂固；其每个分支都有自己的基本问题。但就整个数学而言，最最根本的莫过于“数”。回答数是什么的问题，应该说是数学家们最为根本的目的。美籍德国数学家理查·科朗特曾说过：“数是近代数学的基础。虽然希腊人曾把点和线等几何概念作为他们的数学基础，但所有的数学命题最终都应归结为关于自然数1、2、3……的命题。这一点已变成了现代数学的指导原则。”
关于数，人们曾提出过许许多多的问题，有的已经获得解决，有的至今依旧是谜，我们习惯上称其为“猜想”(也称猜测、假设、问题等)。为了将其破解，一代代、一批批数学家们，通过自己的努力，极大地革新并丰富了数学的内容与方法。对于数学猜想之于数学发展的作用，德国数学家和物理学家卡尔·高斯有言：“若无某种大胆果敢的猜想，一般是不可能有知识进展的。”数学知识的进展往往会促进科学的发展，乃至唤起科学的革命。可以说，数学猜想是推动科学发展的强大动力之一。
数学猜想是根据已知条件的数学原理对未知的量及其关系的似真推断，它既有逻辑的成分，又含有非逻辑的成分，因此它具有一定的科学性和很大程度的假定性。这样的假定性命题是否正确，尚需通过验证和论证。虽然数学猜想的结论不一定正确，但它作为一种创造性的思维活动，是科学发现的一种重要方法。数学猜想由前提和结论两部分组成。它以已有的部分事实和正确的数学知识（公理、定理、公式等）为前提,以在前提的基础上作出的假定性的判断为结论。
数学猜想有的被验证为正确的(如费马猜想、卡塔兰猜想、庞加莱猜想等)，并成为定理；有的被验证为错误的(如欧拉猜想、冯·诺伊曼猜想等)；还有一些正在验证过程中(如黎曼假设、孪生素数猜想、哥德巴赫猜想等)。可以说，数学猜想的解决对于数学发展所带来的影响，不仅在于猜想本身的被证明或证否，解决数学猜想过程中所采用的创新研究方法，也是数学发展的重大影响因子。
数学猜想一般都是经过对大量事实的观察、验证、类比、归纳、概括等而提出来的。这种从特殊到一般，从个性中发现共性的方法是数学研究的重要动力。数学猜想的提出与研究，生动地体现了辩证法在数学中的应用，极大地推动了数学方法论的研究。此外，数学猜想往往成为数学发展水平的一项重要标志：费马猜想产生了代数数论；庞加莱猜想有助于人们更好地研究三维空间；哥德巴赫猜想促进了筛法和圆法的发展，尤其是发现了殆素数、例外集合、小变量的三素数定理等；黎曼假设使素数定理得到证明以及椭圆曲线技术应用于加解密、数字签名、密钥交换、大数分解和素数判断等；四色问题通过电子计算机得以解决，从而开辟了机器证明的新时代。从这个意义上讲，数学猜想不仅是一颗颗“璀璨艳丽的宝石”，而且是一只只“能生金蛋的母鸡”。
数学猜想是以一定的数学事实为根据，包含着以数学事实作为基础的可贵的想象成分；没有数学事实作根据，随心所欲地胡猜乱想得到的命题不能称之为“数学猜想”。数学猜想通常是应用类比、归纳的方法提出的，或者是在灵感中、直觉中闪现出来的。例如，中国数学家和语言学家周海中根据已知的梅森素数及其排列，巧妙地运用联系观察法和不完全归纳法，于1992年正式提出了梅森素数分布的猜想(即周氏猜想)。
数学猜想成千上万。年年都有不少猜想被提出，也有不少猜想被破解。还有一些重量级的猜想，让数学家们绞尽脑汁，但迄今尚未被破解；要想破解它们，不仅需要扎实的数学基础、过人的思维能力和顽强的拼搏精神，还需要对前人所做种种尝试的系统了解。学界有个说法：全世界适合去攻克这些猜想的人不超过100个，那都是具有百分百天赋的数学家。因此普通数学爱好者不要盲目求解，否则就会做“无用功”。
重赏之下，必有勇夫。2000年3月，英国费伯出版社和美国布卢姆斯伯里出版社宣布了一条消息：谁能在两年内破解哥德巴赫猜想，可以得到100万美元的奖金。其实这两家出版社是为了给希腊作家阿波斯托洛斯·佐克西亚季斯的小说《彼得罗斯大叔和哥德巴赫猜想》做宣传而作出这一决定的；这难免给人一种哗众取宠之感。虽然全球有不少人(几乎是民间数学爱好者)声称已破解这一谜题，但迄今为止还没有人能解开此谜。顺带一提，秘鲁数学家哈拉尔德·赫尔弗戈特最近在巴黎高等师范学院宣称：证明了一个“弱哥德巴赫猜想”，即“任何一个大于7的奇数都能被表示成3个奇素数之和”。其证明是否成立，还有待专家考证。
2000年5月，美国的克雷数学基金会在巴黎法兰西学院宣布了一件被全球媒体炒得火热的大事：对7个“千年数学难题”的每一个悬赏100万美元，限期为100年；附加的条件是，相关的论文必须在世界性的专业杂志发表，在两年内如无异议才发给奖金。这7个难题都是关于数学基本理论的，但它们的解决将对数学理论的发展和应用的深化产生巨大推动。这些难题分别是：bsd猜想、np完全问题、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼假设、杨-米尔斯理论和纳卫尔-斯托可方程。德国数学学会(dmv)理事长哥内托·施特洛特认为，别说100万美元，就是1亿美元的重赏也未必会加快难题的解决。真没想到俄罗斯数学家格里戈里佩雷尔曼于2003年就破解了庞加莱猜想，但这位对名利不感兴趣的天才拒绝了领赏，另外他还拒领有“数学诺贝尔奖”之称的菲尔茨奖。
美国数学学会（ams）今年6月向外界宣布，如果有人能破解比尔猜想，那么美国得州银行家安德鲁·比尔将奖励给这个人100万美元。比尔是一名自学成才的数学家。1993年，比尔在研究了费马猜想后，提出了自己的猜想，并以自己的名字命名。他在1997年出资成立了比尔奖金，奖励给能破解比尔猜想的人，当年的奖金为5000美元，随后金额逐渐提升。ams将以信托形式持有这笔奖金，一旦有人能够提供证明或是反例，并将自己的研究成果发表在同行评审的杂志上，在两年内无异议，就可以拿到这笔奖金。ams发言人迈克尔·布伦称，该猜想比另一个与之相关的费马猜想更难解决，后者经过300多年才被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明。
数学猜想无论是重量级的还是轻量级的，是有赏的还是无赏的，都能够强烈地吸引人们全身心投入，积极开展相关研究，从而强力推动数学发展。数学猜想之所以引人入胜，是因为即便依赖超级电子计算机等现代数学研究工具，也未必能够解决。例如，黎曼假设如今靠计算机已经验证了10万亿次以上，一个反例都没有，但对于这一猜想的帮助从严格意义上来说等于0；因为计算机能做的也只有无限制的验证，而无法实现严格的推导过程。
数学既是关于已知的，又是关于未知的。数学猜想架起了从已知到未知的桥梁；而破解数学猜想，正是数学家们一直在追求的目标。最后，引用德国数学家大卫·希尔伯特的一句名言来结束本文：“我们必须知道，我们必将知道。”
（作者：日本京都大学博士后）
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